1º ANO - AULA 04 - VETORES

OPERAÇÕES COM VETORES

Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo! Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada.

Existem outros tipos de grandezas que não precisam de toda essa descrição, por exemplo, se alguém pergunta as horas, basta você dizer que horas são e a informação já foi completamente passada. Essas são as grandezas escalares.

Como as grandezas vetoriais e as escalares são diferentes, as operações com elas também são feitas de formas distintas. As grandezas vetoriais devem ser representadas por vetores, que são segmentos de reta com uma seta na ponta que demonstram o módulo, a direção e o sentido da grandeza. Veja a figura a seguir:

Representação de um vetor

O tamanho da reta representa o módulo (valor numérico) do vetor, a reta representa a direção da grandeza e a seta indica o sentido.

As operações com vetores dependem da direção e do sentido entre eles. Para cada caso, utilizamos uma equação diferente. Veja a seguir as principais operações que podem ser realizadas com vetores:

Vetores na mesma direção

Para realizar operações com vetores na mesma direção, devemos inicialmente estabelecer um sentido como positivo e outro como negativo. Normalmente utilizamos como positivo o vetor que “aponta” para a direita, já o negativo é o vetor que aponta para a esquerda. Após convencionar os sinais, somamos algebricamente os seus módulos:

Vetores na mesma direção e sentidos diferentes

Os vetores a, b e c têm a mesma direção, porém o vetor c possui sentido contrário. Utilizando a convenção de sinais, temos a e b com sinais positivos e ccom sinal negativo. Sendo assim, o módulo do vetor resultante d será dado pela equação:

d = a + b - c

O sinal de d indica o sentido do vetor resultante: se d for positivo, seu sentido será para a direita; mas se for negativo, seu sentido será para a esquerda.

Esse é apenas um exemplo de como resolver operações com vetores na mesma direção, mas a regra de sinais é válida sempre que houver vetores nessas condições.

Vetores perpendiculares entre si

Dois vetores são perpendiculares quando fazem um ângulo de 90º entre si. Suponha que um móvel saia do ponto A e vá na direção oeste, deslocando-se a uma distância d₁ e chegando ao ponto B. Em seguida, ele sai do ponto B e vai até um ponto C, deslocando-se a uma distância d₂ agora na direção norte, conforme mostra a figura:

Representação de vetores perpendiculares entre si

O descolamento resultante do ponto A até o ponto C é representado pelo vetord. Observe que a figura formada corresponde a um triângulo retângulo, em que os vetores d₁ e d₂ são os catetos e d é a hipotenusa. Sendo assim, podemos calcular o módulo de d através do Teorema de Pitágoras:

d² = d₁² + d₂²

Vetores em direções quaisquer

Quando dois vetores fazem entre si um ângulo α, diferente de 90º, não é possível utilizar o Teorema de Pitágoras, mas as operações podem ser feitas através da regra do paralelogramo. A figura a seguir mostra o deslocamento resultante d de um móvel que saiu do ponto A e deslocou-se a uma distância d₁ , chegando ao ponto B; em seguida, ele deslocou-se a uma distância d₂ até chegar ao ponto C:

O deslocamento resultante d descreve um paralelogramo com d₁ e d₂

Como o deslocamento resultante d forma um paralelogramo com d₁ e d₂, ele deve ser calculado com a equação:

d² = d₁² + d₂² + 2d₁d₂ cosα
(Regra do paralelogramo)