1º ANO - AULA 05 - CINEMÁTICA VETORIAL

Cinemática vetorial

Vetor deslocamento

Vetor deslocamento (d) de um ponto material entre os instantes t1 e t2 é o vetor representado por um segmento orientado de origem em P1 (posição do ponto material no instante t1) e extremidade em P2 (posição do ponto material no instantet2).

Velocidade vetorial média (vm)

É o quociente entre o vetor d e o correspondente intervalo de tempo Δt.

vm tem a mesma direção e o mesmo sentido de d.

Velocidade vetorial instantânea

A velocidade vetorial (v) de um móvel no instante t tem as características:

Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar no instante t.

Direção: da reta tangente à trajetória pelo ponto P (posição que o móvel ocupa no instante t).

Sentido: do movimento.

Aceleração vetorial média (am)

Seja v1 a velocidade de um móvel num instante t1 e v2 sua velocidade num instante posterior t2.

A aceleração vetorial média am é o quociente entre a variação da velocidade

Δv = v2 - v1 e o correspondente intervalo de tempo Δt = t2 - t1.

am tem a direção e o sentido de Δv.

Aceleração vetorial instantânea (a)

Aceleração centrípeta (acp)

É a aceleração que indica a variação na direção da velocidade vetorial. Existe aceleração centrípeta sempre que o móvel percorre trajetória curva.

Características de acp:

Módulo: IacpI = v2/R, em que v é a velocidade escalar e R, o raio da curva descrita.

Direção: perpendicular à velocidade vetorial em cada ponto.

Sentido: orientado para o centro (C) de curvatura da trajetória.

Aceleração tangencial (at)

É a aceleração que indica variação no módulo da velocidade vetorial. Existe aceleração tangencial nos movimentos variados.

Características de at:

Módulo: IatI = IαI, em que α é a aceleração escalar.

Direção: tangente à trajetória.

Sentido: o mesmo de v se o movimento for acelerado, oposto ao de v se o movimento for retardado.

Aceleração vetorial (a)

É a soma vetorial da aceleração centrípeta (acp) e da aceleração tangencial (at):

Composição de movimentos

Considere um barquinho movendo-se nas águas de um rio. O movimento do barquinho em relação às águas chama-se movimento relativo.

O movimento das águas que arrastam o barquinho em relação às margens é omovimento de arrastamento.

O movimento do barquinho em relação às margens, isto é, em relação à Terra, é omovimento resultante.

A velocidade do barquinho em relação às águas é a velocidade relativa

(vrel).

A velocidade das águas, isto é, a velocidade da correnteza é a velocidade de arrastamento (varr).

A velocidade do barquinho em relação às margens é a velocidade resultante(vres).

Tem-se a relação vetorial:

Portanto: a velocidade do movimento resultante é a soma vetorial das velocidades dos movimentos relativo e de arrastamento.

Considere os casos:

EXERCÍCIOS

Exercício 1:
Num bairro planejado os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas, distando
100 m uma da outra. Seu Joaquim, parte de sua casa A e após percorrer algumas travessas, conforme o esquema, chega ao local de seu trabalho B. Seu Joaquim sai às 7h da manhã de A e chega em B às 7h 8min 20s. Determine:

a) A distância total percorrida por seu Joaquim e o módulo do vetor deslocamento ddesde o ponto de partida (A) até o de chegada (B).
b) O módulo da velocidade escalar média v_m e o módulo da velocidade vetorial média Iv_mI.

Exercício 2:
Um aluno sai de sua casa para ir ao colégio e se desloca, sucessivamente, 100 m de Sul para Norte, 80 m de Oeste para Leste e 40 m de Norte para Sul, chegando à escola.

a) Represente os sucessivos deslocamentos do aluno e o deslocamento vetorial ddesde o ponto de partida até o de chegada.
b) Qual o módulo de d?
c) Calcule o módulo da velocidade escalar média v_m e o módulo da velocidade vetorial média Iv_mI do aluno, sabendo-se que ele vai de sua casa ao colégio em 2,5 minutos.

O texto a seguir refere-se às questões 3, 4 e 5 

Um ciclista descreve um movimento circular uniforme, no sentido horário. No instante t₁ = 10 s o ciclista passa pelo ponto A e no instante
t₂ = 30 s, pelo ponto B. O raio da trajetória é de 100 m. Adote π = 3 e √2 = 1,4.

  

Exercício 3: 
O módulo da variação de espaço Δs e o módulo do vetor deslocamento d entre as posições A e B são, respectivamente: 
  
a) 600 m e 560 m 
b) 300 m e 280 m
c) 150 m e 140 m
d) 75 m e 70 m
e) 60 m e 30 m
  

Exercício 4: 
Entre as posições A e B, a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média têm módulos, respectivamente, iguais a; 
  
a) 15 m/s e 14 m/s 
b) 7,5 m/s e 7 m/s
c) 6m/s e 5 m/s
d) 5 m/s e 4 m/s
e) 5 m/s e 5 m/s


Exercício 5:
A velocidade vetorial do ciclista no instante em que passa pela posição C está representada na alternativa:

3º ANO - AULA 06 - Superfície equipotencial

Superfície equipotencial

Toda superfície cujos pontos apresentam o mesmo potencial elétrico.
As linhas de força são perpendiculares às superfícies equipotenciais.

Exemplos:

Campo elétrico gerado por duas cargas elétricas puntiformes. As linhas de cor cinza são as linhas de força e as azuis, tracejadas, as equipotenciais.

Características do campo uniforme

x

• As superfícies equipotenciais são planos paralelos entre si e perpendiculares às linhas de força.
• O trabalho no deslocamento de uma carga q entre os pontos A e B é dado por:

x

Relação:

  

Exercício 1:

As linhas cheias representam algumas linhas de força de um campo eletrostático e, as tracejadas, as linhas equipotenciais.
Uma partícula eletrizada com carga elétrica q = 2.10^-6 C é transportada de A até B e de B até C.
Qual é o trabalho que a força eletrostática realiza nestes dois deslocamentos?

Exercício 2:
A figura representa as linhas equipotenciais no campo gerado por duas cargas elétricas puntiformes de mesmo valor absoluto e sinais opostos. Qual é a ddp entre os pontos A e B e entre B e C?

Exercício 3:
Na figura estão representadas algumas linhas equipotenciais de um campo eletrostático. Represente o vetor campo elétrico resultante nos pontos A e B.

Exercício 4:
Considere os pontos A, B e C de um campo elétrico uniforme de intensidade  
E = 10³ N/C.

Calcule a ddp entre os pontos:
a) A e B
b) A e C
c) B e C

Exercício 5:
Considere os pontos A e B de um campo elétrico uniforme de intensidade
E = 10⁴ N/C.

Calcule a ddp entre os pontos A e B.
Dados: distância entre A e B = 20 cm; cos 60º = 0,5

3º ANO - AULA 05 - TRABALHO DA FORÇA ELETRICA

Trabalho da força elétrica. Potencial Elétrico (I)

Energia potencial elétrica

Vamos inicialmente fazer algumas analogias. Quando você ergue um livro para colocá-lo numa estante, a energia que você despende não é perdida. Ela fica armazenada no livro e, como advém de uma posição dentro do campo gravitacional, recebe o nome de energia potencial gravitacional (E_p).
Em relação a um referencial no solo a energia potencial gravitacional é dada
por: E_p = m.g.h, sendo m a massa do livro, g a aceleração da gravidade e h a altura do livro em relação ao solo.

Da mesma maneira, quando você comprime ou distende uma mola, diminuindo ou aumentando seu comprimento, ela armazena energia potencial elástica (E_p), dada por E_p = K.x²/2, onde K é a constante elástica e x a deformação da mola. O referencial para o cálculo da energia potencial E_p é a mola não deformada.

Considere, agora, o campo elétrico gerado por uma carga elétrica puntiforme Q, por exemplo positiva, fixa num ponto O. Seja P um ponto do campo. Um operador desloca uma carga elétrica puntiforme q, também positiva de um ponto bem afastado de O até o ponto P. 

A energia despendida pelo operador (veja que Q > 0 repele q > 0) não é perdida. Fica armazenada na carga q e recebe o nome de energia potencial elétrica. A energia potencial elétrica E_p que q adquire ao ser colocada em P, situado a uma distância d de O, em relação a um referencial muito distante da carga Q (dizemos, referencial no infinito) é dada por:

Onde k a constante eletrostática do meio. Se o meio for o vácuo a constante eletrostática é indicada por k₀.

Da fórmula anterior podemos escrever 

A grandeza:

é indicada por V_p e recebe o nome de potencial elétrico no ponto P do campo da carga elétrica puntiforme Q fixa. Vamos conhecê-la melhor.

Em primeiro lugar observe que o potencial elétrico é uma grandeza escalar, que depende do meio onde a carga elétrica Q se encontra, expresso pelo valor de k. Depende do valor da carga Q que gera o campo e varia de ponto para ponto: mudando-se o valor de d, muda o valor do potencial. Assim temos:

De V_p = E_p/q, concluímos que a unidade de potencial elétrico no SI é joule/coulomb (J/C) que recebe o nome de volt (V).

Potencial elétrico no campo de várias cargas elétricas puntiformes

Trabalho da força elétrica no deslocamento de uma carga elétrica q do ponto A ao ponto B de um campo elétrico

τ_AB = E_PA - E_PB = q.(V_A - V_B) => τ_AB = q.(V_A - V_B)

V_A - V_B = U é a ddp (diferença de potencial ou tensão elétrica entre os pontos A e B).

O trabalho da força elétrica não depende da trajetória. A força elétrica é conservativa.

Propriedades do potencial elétrico

Uma carga elétrica q>0 é abandonada em repouso em um ponto A de um campo eletrostático, gerado por uma carga elétrica puntiforme Q>0, fixa num ponto O.

Sob ação da força eletrostática a partícula se desloca espontaneamente de A até B. Neste deslocamento a força eletrostática realiza um trabalho positivo (força e deslocamento têm o mesmo sentido, conforme mostra a figura 1. Observe que o potencial elétrico em A é maior do que em B (V_A > V_B).

Se a carga elétrica q fosse negativa ela se deslocaria espontaneamente de A para C e também, neste caso, a força eletrostática teria o sentido do deslocamento e realizaria um trabalho positivo (figura 2).

Observe que o potencial elétrico em A é menor do que em C (V_A < V_C).

Do exposto acima para o campo gerado por uma carga elétrica puntiforme, podemos generalizar e tirar as seguintes propriedades:

1. Cargas elétricas positivas abandonadas em repouso num campo eletrostático e sujeitas apenas à força eletrostática, deslocam-se, espontaneamente, para pontos de menor potencial.

2. Cargas elétricas negativas abandonadas em repouso num campo eletrostático e sujeitas apenas à força eletrostática, deslocam-se, espontaneamente, para pontos de maior potencial.

3. Percorrendo-se uma linha de força no seu sentido o potencial elétrico ao longo de seu pontos diminui.

4. Em todo movimento espontâneo de cargas elétricas num campo eletrostático a energia potencial elétrica diminui e a energia cinética aumenta.


EXERCÍCIOS:

1) Vamos supor que temos uma partícula carregada com carga q = 4 μC e que ela seja colocada em um ponto A de um campo elétrico cujo potencial elétrico seja igual a 60 V. Se essa partícula ir, espontaneamente, para um ponto B, cujo potencial elétrico seja 20 V, qual será o valor da energia potencial dessa carga quando ela estiver no ponto A e posteriormente no ponto B?

2) Determine a energia potencial elétrica de uma carga elétrica colocada em um ponto P cujo potencial elétrico é 2 x 104 V. Seja a carga igual a -6 μC.

3) Uma partícula eletrizada com carga q = -2 µC é transportada por um operador de um ponto A, cujo potencial é VA = 3.103 V,  até um ponto B cujo potencial é VB = 1.103 V. A partícula parte com velocidade nula do ponto A e chega ao ponto B com velocidade também nula.

Qual é o trabalho da força elétrica que age na partícula no deslocamento de A até B?

2º ANO - AULA 04 - CALORIMETRIA - CALOR LATENTE

Mudanças de fase (I)

 Mudanças de fase ou estados de agregação  

x

Tipos de vaporização

Evaporação: processo espontâneo e lento que ocorre na superfície do líquido.

Ebulição: processo no qual há formação tumultuosa de bolhas, ocorrendo em toda massa líquida. A ebulição se verifica a uma determinada temperatura (temperatura de ebulição) que depende da pressão exercida sobre a superfície do líquido. Por exemplo, a água entra em ebulição a 100 ºC sob pressão normal (1 atmosfera).

Lei da mudança de fase
Sob pressão constante, durante a mudança de fase a temperatura permanece constante.

Calor latente (L)
Numericamente é a quantidade de calor que a substância troca (ganha ou perde), por unidade de massa, durante a mudança de estado, mantendo-se constante a temperatura.

Unidade: cal/g

Quantidade de calor trocada durante a mudança de estado por uma massa m de uma substância.

Q = m.L

Curva de aquecimento da água

Influência da pressão nas temperaturas de fusão e de ebulição

A maioria das substâncias aumenta de volume na fusão e, portanto, diminui de volume ao se solidificar. Para estas substâncias, um aumento de pressão acarreta um aumento na temperatura de fusão.

Existem exceções, como por exemplo a água. Para estas substâncias o volume diminui na fusão e, portanto, aumenta na solidificação. Para as exceções, um aumento de pressão acarreta uma diminuição na temperatura de fusão.

Para todas as substâncias, um aumento de pressão acarreta um aumento na temperatura de ebulição.

Diagrama de fases

Maioria das substâncias (como por exemplo o CO₂)

Exceções (como por exemplo a água)

Curva de fusão (1)

Delimita as regiões correspondentes às fases sólida e líquida. Cada ponto dela é representativo de um estado de equilíbrio entre essas fases.

Curva de vaporização (2)

Delimita as regiões correspondentes às fases líquida e de vapor. Cada ponto dela é representativo de um estado de equilíbrio entre essas fases.

Curva de sublimação (3)

Delimita as regiões correspondentes às fases sólida e de vapor. Cada ponto dela é representativo de um estado de equilíbrio entre essas fases.

Ponto triplo ou tríplice (T)

Estado comum às três curvas; é representativo do equilíbrio entre as três fases da substância.

Ponto crítico (C)

Estado em que corresponde à mais alta temperatura em que a substância é um vapor.

Vapor (θ ≤ θ_c): liquefaz-se por compressão isotémica.

Gás (θ > θ_c): não se liquefaz por compressão isotérmica.

 

2º ANO - AULA 03 - CALORIMETRICA - CALOR SENSÍVEL

Calor

Ao misturarmos massas de água quente e água fria em um recipiente obtemos água morna. A temperatura final é consequência da interação energética entre as massas de água. 

Um corpo de temperatura elevada colocado em contato com um corpo de temperatura mais baixa cede calor até que seja atingida a temperatura de equilíbrio térmico.

Calor é energia térmica em trânsito entre corpos a diferentes temperaturas.

Calor sensivel
É o calor que cedido a um corpo ou retirado deste produz mudança de temperatura.

Calor latente
É o calor que cedido a um corpo ou retirado deste produz mudança de estado.


Quantidade de calor (Q)

É a grandeza por meio da qual avalia-se a energia térmica em trânsito (calor) entre sistemas a diferentes temperaturas.

Unidade no SI: joule (J)
Unidade usual: caloria (cal)
Relação: 1 cal = 4,1868 J

Equação fundamental da calorimetria

Um corpo de massa m recebe uma quantidade de calor sensível Q e sofre uma variação de temperatura ΔT = T₂ - T₁. Verifica-se, por meio de experiências, que Q é diretamente proporcional a m e à variação de temperatura ΔT:

Q = m.c.ΔT

c é um coeficiente de proporcionalidade que caracteriza a substância que constitui o corpo e é denominado calor específico sensível.

O calor específico (c) de uma substância mede numericamente a quantidade de calor que faz variar em 1 ºC a temperatura da massa de 1 g da substância.

Unidade usual: cal/g.ºC 

xΔT = _T2 – _T1

Aumento de temperatura 

T₂ > T₁ => ΔT > 0 => Q > 0: calor recebido

Diminuição de temperatura

T₂ < T₁ => ΔT < 0 => Q < 0: calor cedido

Capacidade térmica (C) de um corpo

Mede numericamente a quantidade de calor que faz variar de 1 ºC a temperatura do corpo.

C = Q/Δθ ou C = m.c

Unidade usual: cal/ºC

O equivalente em água de um corpo é a massa de água cuja capacidade térmica é igual à do corpo.
O calorímetro é um recipiente onde costumam ser colocados os corpos em experiências de trocas de calor.
Os calorímetros devem ser isolados termicamente do ambiente e apresentar baixa capacidade térmica.

Princípio geral das trocas de calor

Se dois ou mais corpos trocam calor entre sí, a soma algébrica das quantidades de calor trocadas pelos corpos, até o estabelecimento do equilíbrio térmico, é nula.

Q_A + Q_B + Q_C +... = 0

 

 

1º ANO - AULA 04 - VETORES

OPERAÇÕES COM VETORES

Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo! Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada.

Existem outros tipos de grandezas que não precisam de toda essa descrição, por exemplo, se alguém pergunta as horas, basta você dizer que horas são e a informação já foi completamente passada. Essas são as grandezas escalares.

Como as grandezas vetoriais e as escalares são diferentes, as operações com elas também são feitas de formas distintas. As grandezas vetoriais devem ser representadas por vetores, que são segmentos de reta com uma seta na ponta que demonstram o módulo, a direção e o sentido da grandeza. Veja a figura a seguir:

Representação de um vetor

O tamanho da reta representa o módulo (valor numérico) do vetor, a reta representa a direção da grandeza e a seta indica o sentido.

As operações com vetores dependem da direção e do sentido entre eles. Para cada caso, utilizamos uma equação diferente. Veja a seguir as principais operações que podem ser realizadas com vetores:

Vetores na mesma direção

Para realizar operações com vetores na mesma direção, devemos inicialmente estabelecer um sentido como positivo e outro como negativo. Normalmente utilizamos como positivo o vetor que “aponta” para a direita, já o negativo é o vetor que aponta para a esquerda. Após convencionar os sinais, somamos algebricamente os seus módulos:

Vetores na mesma direção e sentidos diferentes

Os vetores a, b e c têm a mesma direção, porém o vetor c possui sentido contrário. Utilizando a convenção de sinais, temos a e b com sinais positivos e ccom sinal negativo. Sendo assim, o módulo do vetor resultante d será dado pela equação:

d = a + b - c

O sinal de d indica o sentido do vetor resultante: se d for positivo, seu sentido será para a direita; mas se for negativo, seu sentido será para a esquerda.

Esse é apenas um exemplo de como resolver operações com vetores na mesma direção, mas a regra de sinais é válida sempre que houver vetores nessas condições.

Vetores perpendiculares entre si

Dois vetores são perpendiculares quando fazem um ângulo de 90º entre si. Suponha que um móvel saia do ponto A e vá na direção oeste, deslocando-se a uma distância d₁ e chegando ao ponto B. Em seguida, ele sai do ponto B e vai até um ponto C, deslocando-se a uma distância d₂ agora na direção norte, conforme mostra a figura:

Representação de vetores perpendiculares entre si

O descolamento resultante do ponto A até o ponto C é representado pelo vetord. Observe que a figura formada corresponde a um triângulo retângulo, em que os vetores d₁ e d₂ são os catetos e d é a hipotenusa. Sendo assim, podemos calcular o módulo de d através do Teorema de Pitágoras:

d² = d₁² + d₂²

Vetores em direções quaisquer

Quando dois vetores fazem entre si um ângulo α, diferente de 90º, não é possível utilizar o Teorema de Pitágoras, mas as operações podem ser feitas através da regra do paralelogramo. A figura a seguir mostra o deslocamento resultante d de um móvel que saiu do ponto A e deslocou-se a uma distância d₁ , chegando ao ponto B; em seguida, ele deslocou-se a uma distância d₂ até chegar ao ponto C:

O deslocamento resultante d descreve um paralelogramo com d₁ e d₂

Como o deslocamento resultante d forma um paralelogramo com d₁ e d₂, ele deve ser calculado com a equação:

d² = d₁² + d₂² + 2d₁d₂ cosα
(Regra do paralelogramo)